Класс fraction в python

Содержание

• ;
• • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;

В Python операторы — это специальные символы, которые обозначают, что должны выполняться какие-то вычисления. Значения, на которые действует оператор, называются операндами.
Например:

>>> a = 10
>>> b = 20
>>> a + b
30

В этом случае лператор складывает значения операндов и . Операндом может быть буквальное значение или переменная, которая ссылается на объект:

>>> a = 10
>>> b = 20
>>> a + b - 5
25

Такая последовательность операндов, разделенных знаками операций, как , называется арифметическим выражением. Python поддерживает множество операторов для объединения объектов данных в выражения. Они показаны ниже.

Сложные задачи

1. Дано целое число N (> 1). Найти наименьшее целое число K, при котором выполняется неравенство 3^K > N, где 3^K — это 3 в степени K или число 3, умноженное само на себя K раз. Например, 3^5 = 3*3*3*3*3. Ответом в задаче будет первая степень числа 3, которая больше, чем заданное число N. Например, если N=41, распишем степени числа три: 3^1 = 3; 3^2 = 3*3 = 9; 3^3 = 3*3*3 = 27; 3^4 = 3*3*3*3 = 27 * 3 = 81;. Таким образом, первая степень, в которую возвести число 3, превышающая число N — это 4. В этой задаче нужно выполнять цикл while, пока остаток от деления на число три равен

2. Дано целое число N (> 0). Используя операции деления нацело и взятия остатка от деления, вывести все его цифры, начиная с самой правой (разряда единиц). Перед решением этой задачи вспомните, как найти сумму цифр трехначного числа.

3. Даны целые положительные числа A и B. Найти их наибольший общий делитель (НОД), используя алгоритм Евклида: НОД(A, B) = НОД(B, A mod B), если B = 0; НОД(A, 0) = A.

4. Спортсмен-лыжник начал тренировки, пробежав в первый день 10 км. Каждый следующий день он увеличивал длину пробега на P процентов от пробега предыдущего дня (P — вещественное, 0

5. Дано целое число N (> 1). Последовательность чисел Фибоначчи FK определяется следующим образом: F(1) = 1, F(2) = 1, F(K) = F(K-2) + F(K-1), K = 3, 4, …. Проверить, является ли число N числом Фибоначчи. Если является, то вывести TRUE, если нет — вывести FALSE.

6. Даны положительные числа A, B, C. На прямоугольнике размера A x B размещено максимально возможное количество квадратов со стороной C (без наложений). Найти количество квадратов, размещенных на прямоугольнике. Операции умножения и деления не использовать.

7. Дано целое число N (> 1), являющееся числом Фибоначчи: N = F(K). Найти целое число K — порядковый номер числа Фибоначчи N.

Целые числа и числа с плавающей запятой

Python имеет три встроенных числовых типа данных: целые числа, числа с плавающей запятой и комплексные числа. В этом разделе вы узнаете о целых числах и числах с плавающей запятой, которые являются двумя наиболее часто используемыми типами чисел. Вы узнаете о комплексных числах в следующем разделе.

Целые числа

Целое число – это целое число без десятичных знаков. Например, 1 – целое число, а 1.0 – нет. Имя для целочисленного типа данных – , которое вы можете увидеть с помощью :

Вы можете создать целое число, набрав желаемое число. Например, следующее присваивает переменной целое число 25:

Когда вы создаете такое целое число, значение 25 называется целочисленным литералом, потому что целое число буквально вводится в код.

Возможно, вы уже знакомы с тем, как преобразовать строку, содержащую целое число, в число с помощью . Например, следующее преобразует строку «25» в целое число 25:

не является целочисленным литералом, потому что целое значение создается из строки.

Когда вы пишете большие числа от руки, вы обычно группируете цифры в группы по три, разделенные запятой или десятичной точкой. Число 1000000 читать намного легче, чем число 1000000.

В Python нельзя использовать запятые для группировки цифр в целочисленных литералах, но можно использовать символы подчеркивания (_). Оба следующих способа являются допустимыми способами представления числа один миллион как целочисленного литерала:

Нет предела тому, насколько большим может быть целое число, что может быть удивительно, учитывая, что компьютеры имеют конечный объем памяти. Попробуйте ввести наибольшее число, которое вы можете придумать, в интерактивном окне IDLE. Python справится с этим без проблем!

Числа с плавающей запятой

Число с плавающей запятой(floating-point number) или сокращенно с плавающей запятой(float) – это число с десятичной запятой. 1.0 – это число с плавающей запятой, как и -2.75. Имя типа данных с плавающей запятой – float:

Как и целые числа, числа с плавающей запятой можно создавать из литералов с плавающей запятой(floating-point literals) или путем преобразования строки в число с плавающей запятой с помощью функции :

Есть три способа представить литерал с плавающей запятой. Каждое из следующих действий создает литерал с плавающей запятой со значением один миллион:

Первые два способа аналогичны двум методам создания целочисленных литералов. Третий подход использует нотацию E для создания литерала с плавающей запятой.

Чтобы написать литерал с плавающей запятой в нотации E, введите число, за которым следует буква e, а затем другое число. Python берет число слева от e и умножает его на 10, возведенное в степень числа после e. Итак, эквивалентно 1 × 10⁶.

Python также использует нотацию E для отображения больших чисел с плавающей запятой:

Число с плавающей запятой 200000000000000000.0 отображается как . Знак указывает, что показатель степени является положительным числом. Вы также можете использовать отрицательные числа в качестве показателя степени:

Литерал интерпретируется как в степени , что составляет 1/10000 или 0,0001.

В отличие от целых чисел, числа с плавающей запятой имеют максимальный размер. Максимальное число с плавающей запятой зависит от вашей системы, но что-то вроде должно выходить за рамки возможностей большинства машин. составляет 2 × 10⁴⁰⁰, что намного больше, чем общее количество атомов во Вселенной!

Когда вы достигнете максимального числа с плавающей запятой, Python вернет специальное значение с плавающей запятой, :

означает бесконечность, и это просто означает, что число, которое вы пытались создать, превышает максимальное значение с плавающей запятой, разрешенное на вашем компьютере. Тип по-прежнему :

Python также использует , что означает отрицательную бесконечность и представляет собой отрицательное число с плавающей запятой, которое превышает минимальное число с плавающей запятой, разрешенное на вашем компьютере:

Вы, вероятно, не будете часто сталкиваться с и как программист, если только вы не будете регулярно работать с очень большими числами.

Идентификационные операторы

Python provides two operators, and , that determine whether the given operands have the same identity—that is, refer to the same object. This is not the same thing as equality, which means the two operands refer to objects that contain the same data but are not necessarily the same object.
Here is an example of two object that are equal but not identical:

>>> x = 1001
>>> y = 1000 + 1
>>> print(x, y)
1001 1001
>>> x == y
True
>>> x is y
False

Here, and both refer to objects whose value is . They are equal. But they do not reference the same object, as you can verify:

>>> id(x)
60307920
>>> id(y)
60307936

and do not have the same identity, and returns .
You saw previously that when you make an assignment like , Python merely creates a second reference to the same object, and that you could confirm that fact with the function. You can also confirm it using the operator:

>>> a = 'I am a string'
>>> b = a
>>> id(a)
55993992
>>> id(b)
55993992
>>> a is b
True
>>> a == b
True

In this case, since and reference the same object, it stands to reason that and would be equal as well.
Unsurprisingly, the opposite of is :

>>> x = 10
>>> y = 20
>>> x is not y
True

Классический алгоритм Евклида

Этот вид алгоритма Евклида является самым простым, он был придуман более 1300 лет назад. С появлением электронно-вычислительных машин расширились возможности по применению алгоритма Евклида, возникли новые более эффективные его реализации.

Алгоритм состоит из определенного количества шагов, количество которых зависит от размера входных данных.

Сложность алгоритма выражается функцией O(h2), где h – это количество десятичных цифр в наименьшем числе, наибольший делитель которых ищется алгоритмом.

Реализация на Python

Существует несколько реализаций классического алгоритма Евклида, которые основаны на использовании различных операторов и возможностей языка Python (остаток от деления, вычитание, рекурсия). Эти реализации отличаются незначительно, сильные различия в эффективности наблюдаются только при специфических входных данных.

Реализация с помощью остатка от деления

Идея такой реализации достаточна проста, алгоритм уменьшает числа до тех пор, пока одно из них не станет равно нулю, а другое искомому делителю. Для этого используется цикл , в котором большее число делится на меньшее и становится равным остатку от деления. Таким образом, функция вернёт наибольший общий делитель (НОД) её двух аргументов.

Код алгоритма Евклида на Python:

def gcd_rem_division(num1, num2):
    while num1 != 0 and num2 != 0:
        if num1 >= num2:
            num1 %= num2
        else:
            num2 %= num1
    return num1 or num2

Так как одно из чисел всегда становится равным нулю, то функция всегда будет возвращать делитель, благодаря логическому оператору или, который используется вместе с .

В каждой новой итерации большее число становится меньшим и наоборот. Возьмём числа 168 и 105 и распишем работу программы вручную:

• 1 итерация:
  168 % 105 = 63
  105
• 2 итерация:
  63
  105 % 63 = 42
• 3 итерация:
  63 % 42 = 21
  42
• 4 итерация:
  42 % 21 = 0
  21

После 4 итерации алгоритм завершает свою работу, так как одно из чисел равно нулю, второе же число равно наибольшему общему делителю, в нашем случае это 21. Проверим работу программы:

a = gcd_rem_division(168, 105)
print(a) # Выведет 21

Реализация с помощью вычитания

Идея этой реализации схожа с предыдущей, однако здесь числа уменьшаются до нуля и делителя с помощью вычитания.

Код вычисления НОД на Python:

def gcd_subtraction(num1, num2):
    while num1 != 0 and num2 != 0:
        if num1 >= num2:
            num1 -= num2
        else:
            num2 -= num1
    return num1 or num2

Также распишем работу программы с числами 168 и 105:

• 1 итерация:
  168 — 105 = 63
  105
• 2 итерация:
  63
  105 — 63 = 42
• 3 итерация:
  63 — 42 = 21
  42
• 4 итерация:
  21
  42 — 21 = 21
• 5 итерация:
  21 — 21 = 0
  21

Видно, что до 4 итерации результаты работы обоих версий алгоритма полностью совпадают. Отличия начинаются, когда в 4 итерации вместо 0 и 21, получается числа 21 и 21, из-за чего в алгоритме с вычитанием добавляется дополнительная итерация, но это не значит, что он работает менее эффективнее.

Проверка работы программы:

a = gcd_subtraction(168, 105)
print(a) # Выведет 21

Реализация с помощью рекурсии

Суть алгоритма схожа с реализацией через остаток от деления, однако вместо цикла используется рекурсия.

Код программы на Python нахождения НОД с помощью рекурсии:

def gcd_recursion(num1, num2):
    if num1 == 0:
        return num2
    return gcd_recursion(num2 % num1, num1)

Первое, что стоит заметить, на ноль проверяется только

Важно понять, что числа постоянно меняются местами. В качестве первого числа в рекурсивный вызов функции передаётся , вспомним 4 итерацию в алгоритме через остаток от деления:

4 итерация:
42 % 21 = 0 — num1
21 — num2

То есть рекурсивный алгоритм проверит число на ноль, получит True и вернёт значение , которое и будет являться наибольшим общим делителем.

Особенности алгоритма: простые числа

Если два переданных числа не имеют общих делителей, то алгоритм возвращает единицу. Действительно, ведь каждое число делится на единицу. Например, числа 35 и 18 не имеют общих делителей:

• 35 = 5 * 7 * 1
• 18 = 2 * 9 * 1 = 3 * 6 * 1

Алгоритм будет возвращать единицу, если оба переданных числа являются простыми и не равны друг другу. Простые числа делятся только на себя и на единицу.

Если алгоритм получает на вход одно простое число, это не значит, что он обязательно вернет единицу:

• 5 и 15: число 5 является простым, а 15 — нет, алгоритм вернет наибольший общий делитель 5.
• 5 и 21: число 5 — простое, а 21 — нет, будет возвращена единица, потому что 21 не делится на 5.
• 3 и 21: число 3 — простое, 21 — нет, будет возвращено число 3, потому что 21 делится на 3.

Исходя из этого, можно сказать, что алгоритм Евклида со 100%-ой вероятностью возвращает единицу в том случае, если на вход переданы два простых числа не равных друг другу.

Работа с матрицей с помощью NumPy

Мы можем выполнять все операции с матрицей, используя numpy.array(), такие как сложение, вычитание, транспонирование, нарезание матрицы и т. д.

Добавление матрицы

Мы создадим две матрицы с помощью функции numpy.array() и добавим их с помощью оператора +. Давайте разберемся в следующем примере.

Пример –

 
import numpy as np 
mat1 = np.array(, , ]) 
mat2 = np.array(, , ]) 
mat3 = mat1 + mat2   
print("The matrix addition is: ") 
print(mat3) 

Выход:

The matrix addition is:  
 
  
 ] 

Умножение

Мы будем использовать метод numpy.dot() для умножения обеих матриц. Это точечное умножение матриц mat1 и mat2, обрабатывает 2D-массив и выполняет умножение.

Пример –

 
import numpy as np 
mat1 = np.array(, ]) 
mat2 =  np.array(, ]) 
mat3 = mat1.dot(mat2)   
print("The matrix is:") 
print(mat3) 

Выход:

The matrix is: 
 
 ] 

Нарезка элементов

Мы можем разрезать элемент матрицы, как в стандартном списке Python. Нарезка возвращает элемент на основе индекса начала / конца. Мы также можем сделать отрицательную нарезку. Синтаксис приведен ниже.

Синтаксис –

 
arr  

Arr представляет имя матрицы. По умолчанию начальный индекс равен 0, например – , это означает, что начальный индекс равен 0. Если мы не предоставим конечное значение, он будет учитывать длину массива. Мы можем передавать отрицательные значения индекса как в начало, так и в конец. В следующем примере мы применим нарезку в обычном массиве, чтобы понять, как она работает.

Пример –

 
import numpy as np 
 
arr = np.array() 
print(arr) # It will print the elements from 2 to 4 
print(arr) # It will print the elements from 0 to 3 
print(arr) # It will print the elements from 3 to length of the array. 

Выход:

Теперь мы реализуем нарезку по матрице. Для выполнения следуйте синтаксису ниже.

Mat1

В приведенном выше синтаксисе:

• Первое начало / конец представляет строки, которые означают выбор строк матрицы.
• Первое начало / конец представляет столбцы, которые означают выбор столбца матрицы.

Мы будем выполнять нарезку в приведенной ниже матрице.

 
mat1 = np.array(, 
    , 
    , 
    ]) 

Вышеупомянутая матрица состоит из четырех строк. В 0-м ряду есть , в 1-й строке – и так далее. В нем пять столбцов. Рассмотрим на примере.

Пример –

 
import numpy as np  
mat1 = np.array(, 
    , 
    , 
    ]) 
print(mat1) 

Выход:

 
 ] 

Объяснение:

В приведенном выше примере мы напечатали первую и вторую строки и нарезали первый, второй и третий столбцы. Согласно синтаксису нарезки мы можем получить любые строки и столбцы.

Пример – печать первой строки и всех столбцов:

 
import numpy as np 
mat1 = np.array(, 
    , 
    , 
    ]) 
print(mat1) 

Выход:

] 

Пример – печать строк матрицы:

 
import numpy as np 
mat1 = np.array(, , ]) 
print(mat1)  #first row 
print(mat1) # the second row 
print(mat1) # -1 will print the last row 

Выход:

Математические функции и числовые методы

Python имеет несколько встроенных функций, которые можно использовать для работы с числами. В этом разделе вы узнаете о трех наиболее распространенных:

• , для округления чисел до определённого количества десятичных знаков
• , для получения абсолютного значения числа
• , для возведения числа в степень

Вы также узнаете о методе, который можно использовать с числами с плавающей запятой, чтобы проверить, имеют ли они целочисленное значение.

Круглые числа с round()

Вы можете использовать для округления числа до ближайшего целого:

Вы можете округлить число до заданного количества десятичных знаков, передав второй аргумент функции :

Число 3,14159 округляется до трех десятичных знаков, чтобы получить 3,142, а число 2,71828 округляется до двух десятичных знаков, чтобы получить 2,72.

Второй аргумент должен быть целым числом. Если это не так, Python вызывает :

Иногда не дает правильного ответа:

2.675 – это ничья, потому что она находится ровно посередине между числами 2.67 и 2.68. Поскольку Python округляет до ближайшего четного числа, вы ожидаете, что round (2,675, 2) вернет 2,68, но вместо этого он вернет 2,67. Эта ошибка является результатом ошибки представления с плавающей запятой, а не ошибки в .

Работа с числами с плавающей запятой может вызывать разочарование, но это разочарование не характерно для Python. Все языки, реализующие стандарт IEEE с плавающей запятой, имеют одинаковые проблемы, включая C / C ++, Java и JavaScript.

Однако в большинстве случаев небольшие ошибки, возникающие при работе с числами с плавающей запятой, незначительны, а результаты очень полезны.

Найдите абсолютное значение с помощью abs()

Абсолютное значение числа равно , если положительно, и , если отрицательно. Например, абсолютное значение 3 равно 3, а абсолютное значение -5 равно 5.

Чтобы получить абсолютное значение числа в Python, вы используйте :

всегда возвращает положительное число того же типа, что и его аргумент. То есть абсолютное значение целого числа всегда является положительным целым числом, а абсолютное значение числа с плавающей запятой всегда является положительным числом с плавающей запятой.

Возвести в степень с помощью pow()

Ранее вы узнали, как возвести число в степень с помощью оператора . Вы также можете использовать для достижения того же результата.

принимает два аргумента. Первый аргумент – это основание или число, которое нужно возвести в степень, а второй аргумент – это показатель степени или степень, до которой число должно быть возведено в степень.

Например, в следующем примере функция возводит 2 в степень 3:

Как и в случае , показатель степени в может быть отрицательным:

Итак, в чем разница между и ?

Функция принимает необязательный третий аргумент, который вычисляет первое число, возведенное в степень второго числа, а затем берет модуль по отношению к третьему числу. Другими словами, эквивалентно .

Вот пример, в котором x = 2, y = 3 и z = 2:

Сначала 2 возводится в степень 3, чтобы получить 8. Затем вычисляется 8 % 2, что равно 0, потому что 2 делит 8 без остатка.

Проверка, является ли float целым числом

Возможно, вы знакомы со строковыми методами, такими как , и Целые числа и числа с плавающей запятой также имеют методы.

Числовые методы используются не очень часто, но есть один, который может быть полезен. У чисел с плавающей запятой есть метод , который возвращает True, если число является целым, то есть не имеет дробной части, а в противном случае возвращает False:

Одно из применений – это проверка пользовательского ввода. Например, если вы пишете приложение для онлайн-заказа пиццерии, вам нужно проверить, является ли количество пиццы, вводимых клиентом, целым числом.

Функции , и являются встроенными, то есть вам не нужно ничего импортировать, чтобы использовать их. Но эти три функции лишь мельком охватывают все функции, доступные для работы с числами в Python.

Комплексные числа[править]

Пусть x2 = 2. Большинство из нас будут способны найти первый корень x=2{\displaystyle x={\sqrt {2}}}. Более продвинутые в математике заметят, что имеется и второй корень x=−2{\displaystyle x=-{\sqrt {2}}}. Но встретившись с выражением x2 = -2 решение смогут найти лишь немногие люди, знакомые с комплексными числами. Если вы только собираетесь стать ученым, настоятельно советуем познакомиться сейчас с этими замечательными числами перед тем, как изучить дальнейшие примеры, на которых вы сможете проверить свои новые знания.

Комплексная арифметика в Pythonправить

Python поддерживает расчеты с комплексными числами. Мнимая часть записывается через j, вместо i в математике. Комплексное число 2-3i соответственно будет записано как 2-3j. Ниже показан простой сеанс работы с комплексными числами и примеры простой комплексной арифметики:

>>> u = 2.5 + 3j       # создаем комплексное
>>> v = 2              # а это целое
>>> w = u + v          # комплексное + целое
>>> w
(4.5+3j)

>>> a = -2
>>> b = 0.5
>>> s = a + b*1j       # complex из двух float
>>> s = complex(a, b)  # другой способ
>>> s
(-2+0.5j)
>>> s*w                # complex*complex
(-10.5-3.75j)
>>> sw                # complex/complex
(-0.25641025641025639+ 0.28205128205128205j)

Кроме того объект типа complex легко может быть разложен на реальную и мнимую части и для него может быть найдено сопряженное (conjugate) число:

>>> s.real
-2.0
>>> s.imag
0.5
>>> s.conjugate()
(-2-0.5j)

Комплексные функции Pythonправить

Для работы с функциями комплексных переменных следует использовать специальную библиотеку — cmath:

>>> from cmath import sin, sinh
>>> r1 = sin(8j)
>>> r1
1490.4788257895502j
>>> r2 = 1j*sinh(8)
>>> r2
1490.4788257895502j

10 ответов

Лучший ответ

Вы делаете это с помощью оператора модуля,

Оценивает истину тогда и только тогда, когда является точным кратным . В элементарной математике это известно как остаток от деления.

В вашем текущем подходе вы выполняете деление, и результат будет либо

• всегда целое число, если вы используете целочисленное деление, или
• всегда с плавающей запятой, если вы используете деление с плавающей запятой.

Это просто неправильный способ проверки делимости.

205

David Heffernan
3 Ноя 2011 в 21:43

Вы можете использовать оператор% , чтобы проверить делимость заданного числа

Код для проверки, если дано нет. делится на 3 или 5 , если нет. ниже 1000 указано ниже:

Cleb
12 Янв 2016 в 19:19

Попробуй это …

-7

Golden Gate
30 Дек 2016 в 10:08

Jinja2 шаблон fizzbuz:

-7

Richard Morgan
5 Янв 2017 в 16:49

Для небольших чисел будет хорошо. Для очень больших чисел я предлагаю сначала вычислить перекрестную сумму, а затем проверить, является ли перекрестная сумма кратной 3:

-3

honk
9 Авг 2014 в 06:57

Самый простой способ — проверить, является ли число целым числом . Иначе, что сказал Дэвид Хеффернан.

-8

David Heffernan
20 Фев 2018 в 23:38

У меня был такой же подход. Потому что я не понял, как использовать оператор модуля (%).

6% 3 = 0 * Это означает, что если вы разделите 6 на 3, у вас не будет остатка, 3 — это коэффициент 6.

Теперь вы должны связать это с вашей проблемой.

если n% 3 == 0 * Это говорит о том, что если мое число (n) делится на 3, оставляя остаток 0.

Добавьте заявление then (распечатать, вернуть) и продолжить

1

brandon gossman
20 Фев 2018 в 09:48

Этот код, кажется, делает то, что вы просите.

Или что-то вроде

Или любое количество вещей.

Bennett Jester
24 Янв 2017 в 20:17

-2

james faber
18 Окт 2019 в 06:08

Вы можете просто использовать оператор модуля для проверки делимости. Например: означает, что n точно делится на 2, а означает, что n не делится точно на 2.

3

Toby Allen
20 Май 2018 в 20:12

Числа: целые, вещественные, комплексные

Числа в Python 3: целые, вещественные, комплексные. Работа с числами и операции над ними.

Целые числа (int)

Числа в Python 3 ничем не отличаются от обычных чисел. Они поддерживают набор самых обычных математических операций:

x + y	Сложение
x — y	Вычитание
x * y	Умножение
x / y	Деление
x // y	Получение целой части от деления
x % y	Остаток от деления
-x	Смена знака числа
abs(x)	Модуль числа
divmod(x, y)	Пара (x // y, x % y)
x ** y	Возведение в степень
pow(x, y)	x y по модулю (если модуль задан)

Также нужно отметить, что целые числа в python 3, в отличие от многих других языков, поддерживают длинную арифметику (однако, это требует больше памяти).

Битовые операции

Над целыми числами также можно производить битовые операции

x | y	Побитовое или
x ^ y	Побитовое исключающее или
x & y	Побитовое и
x > y	Битовый сдвиг вправо

x

Инверсия битов

Дополнительные методы

int.bit_length() — количество бит, необходимых для представления числа в двоичном виде, без учёта знака и лидирующих нулей.

int.to_bytes(length, byteorder, *, signed=False) — возвращает строку байтов, представляющих это число.

classmethod int.from_bytes(bytes, byteorder, *, signed=False) — возвращает число из данной строки байтов.

Системы счисления

Те, у кого в школе была информатика, знают, что числа могут быть представлены не только в десятичной системе счисления. К примеру, в компьютере используется двоичный код, и, к примеру, число 19 в двоичной системе счисления будет выглядеть как 10011. Также иногда нужно переводить числа из одной системы счисления в другую. Python для этого предоставляет несколько функций:

• int(, ) — преобразование к целому числу в десятичной системе счисления. По умолчанию система счисления десятичная, но можно задать любое основание от 2 до 36 включительно.
• bin(x) — преобразование целого числа в двоичную строку.
• hex(х) — преобразование целого числа в шестнадцатеричную строку.
• oct(х) — преобразование целого числа в восьмеричную строку.

Вещественные числа (float)

Вещественные числа поддерживают те же операции, что и целые. Однако (из-за представления чисел в компьютере) вещественные числа неточны, и это может привести к ошибкам:

Для высокой точности используют другие объекты (например Decimal и Fraction)).

Также вещественные числа не поддерживают длинную арифметику:

Простенькие примеры работы с числами:

Дополнительные методы

float.as_integer_ratio() — пара целых чисел, чьё отношение равно этому числу.

float.is_integer() — является ли значение целым числом.

float.hex() — переводит float в hex (шестнадцатеричную систему счисления).

classmethod float.fromhex(s) — float из шестнадцатеричной строки.

Помимо стандартных выражений для работы с числами (а в Python их не так уж и много), в составе Python есть несколько полезных модулей.

Модуль math предоставляет более сложные математические функции.

Модуль random реализует генератор случайных чисел и функции случайного выбора.

Также для работы с комплексными числами используется также модуль cmath.

Операторы присваивания Python

Оператор «=» присваивает значение, расположенное справа, переменной слева. Например, v = 23 присваивает значение числа 23 переменной v.

В программировании часто используют составные операторы присваивания. Они соединяют арифметический оператор с оператором «=». Поэтому для сложения мы используем оператор «+» с оператором «=», чтобы получить составной оператор «+=». Пример:

w = 5
w += 1
print(w)

Вывод

6

Сначала мы задаём переменной  значение . Затем используем составной оператор присваивания , чтобы прибавить число справа, к переменной, расположенной слева, и присвоить результат переменной .

Составные операторы присваивания часто используются в циклах for:

for x in range (0, 7):
    x *= 2
    print(x)

Вывод

0
2
4
6
8
10
12

При помощи for можно автоматизировать процесс использования оператора «. Он умножает переменную на число , а затем присваивает полученный результат переменной  для следующей итерации цикла.

В Python предусмотрен составной оператор присваивания для каждой арифметической операции:

y += 1          # добавить число и присвоить результат
y -= 1          # отнять число и присвоить результат
y *= 2          # умножить на число и присвоить результат
y /= 3          # разделить на число и присвоить результат
y // = 5        # разделить без остатка на число и присвоить результат
y **= 2         # возвести в степень и присвоить результат
y %= 3          # вернуть остаток от деления и присвоить результат

Составные операторы присваивания полезны в тех случаях, когда переменная должна увеличиваться или уменьшаться с помощью инкремента. А также когда необходимо автоматизировать некоторый процесс в создаваемой программе.

Бинарный алгоритм Евклида

Суть бинарного алгоритма точно такая же — найти наибольший делитель. От классического он отличается только способом реализации.

Вместо классических арифметических операций, в бинарном алгоритме Евклида используются только битовые сдвиги влево и вправо, которые соответствуют умножению и делению на 2.

Сложность алгоритма по прежнему определяется функций O(h2), однако реальные тесты показывают, что бинарный алгоритм эффективнее классического на 60%, это обусловлено различиями в реализациях обычных арифметических операций и сдвигов.

Однако ускорение бинарного по сравнению с классическим алгоритмом справедливо не для кода написанного на Python. Ниже, после описания его реализации проведём тест скорости выполнения для Python.

Реализация на Python

Бинарный алгоритм имеет довольно сложную реализацию по сравнению со всеми предыдущими, однако это окупается его эффективностью.

Код на Python:

def binary_gcd(num1, num2):
    shift = 0
    # Если одно из чисел равно нулю, делитель - другое число
    if num1 == 0:
        return num2
    if num2 == 0:
        return num1
    # Если num1 = 1010, а num2 = 0100, то num1 | num2 = 1110
    # 1110 & 0001 == 0, тогда происходит сдвиг, который фиксируется в shift
    while (num1 | num2) & 1 == 0:
        shift += 1
        num1 >>= 1
        num2 >>= 1
    #Если True, значит num1 - четное, иначе - нечетное
    while num1 & 1 == 0:
        # если нечетное, сдвигаем на один бит
        num1 >>= 1
    while num2 != 0:
        # пока число нечётное, сдвигаем на один бит
        while num2 & 1 == 0:
            num2 >>= 1
        # если первое число больше второго
        if num1 > num2:
            # меняем их местами
            num1, num2 = num2, num1
        #теперь первое число меньше второго, вычитаем
        num2 -= num1
    # возвращаем число, перед этим сдвинув его биты на shift
    return num1 << shift

Результат выполнения не будет отличаться от результатов, полученных другими реализациями.

Тест скорости выполнения

Для выполнения теста воспользуемся функцией monotonic модуля time. Подробнее про неё и про то, как засечь время выполнения программы описано здесь.

Мы будем делать проверку, используя функцию выше описанного бинарного алгоритма Евклида и описанную в самом начале функцию классического.

Код проверки следующий:

start = time.monotonic()
for i in range(10000):
    binary_gcd(168024, 105023)
result = time.monotonic() - start
print("binary time : {:>.3f}".format(result) + " seconds")
start = time.monotonic()
for i in range(10000):
    gcd_rem_division(168024, 105023)
result = time.monotonic() - start
print("standard time: {:>.3f}".format(result) + " seconds")

Результат теста выглядит следующим образом:

binary time : 0.219 seconds
standard time: 0.094 seconds

Из результатов видно, что реализация классического алгоритма на Python быстрее, чем бинарного. Так что лучше на Python использовать классический алгоритм Евклида, а если программировать на C++ и важна скорость выполнения, то тогда использовать бинарный.

Программа на Python, использующая библиотечные функции

Представим, мы стоим на расстоянии, например, 10 м, и наблюдаете за
тем как мяч поднимается в воздух после броска. Прямая соединяющая нас
и мяч составляет некий угол с горизонтальной прямой, величина которого
возрастает и убывает, когда мяч поднимается и опускается
соответственно. Давайте рассмотрим положение мяча в некоторый момент
времени, когда высота положения мяча равна 10 м.

Вычислим рассматриваемый нами угол. Перед тем как написать программу,
мы должны сформулировать некий алгоритм, т.е. некий способ
выполнения необходимых вычислений. В нашем случае, пусть \( x \) —
расстояние от нас до точки подброса мяча, а \( y \) — высота, на
которой находится мяч. Таким образом, образуется угол \( \theta \) с
поверхностью земли, где \( \mathrm{tg\,} \theta = y/x \). Следовательно,
\( \theta=\mathrm{arctg\,}(y/x) \).

Напишем сценарий выполняющий эти вычисления. Введем переменные и
для координат положения \( x \) и \( y \), и переменную
для угла \( \theta \). Сценарий сохраним в файл
ball_angle.py

# -*- coding: utf-8 -*-

x = 10   # горизонтальное положение
y = 10   # вертикальное положение

angle = atan(yx)

print (anglepi)*180

В этом сценарии строка иллюстрирует
вызов функции , соответствующей математической функции
\( \mathrm{arctg} \), с выражением в качестве аргумента
или входного параметра. Отметим, что тригонометрические функции
(такие как ) возвращают значение угла в радианах, поэтому для
преобразования результата в градусы мы использовали выражение
.

Теперь, запустив на выполнение сценарий, мы получим ошибку

NameError: name 'atan' is not defined

Очевидно, интерпретатор Python не распознал функцию , так как
эта функция еще не импортирована в программу. Достаточно большой
функционал доступен в интерпретаторе по умолчанию, однако намного
больший функционал реализован в библиотеках Python. Для того, чтобы
активировать использование дополнительного функционала, мы должны его
явно импортировать. В Python функция , как и множество других
математических функций, собраны в библиотеке . Такая
библиотека в терминах Python называется модулем. Чтобы мы могли
использовать функцию в нашем сценарии, мы должны написать

from math import atan

Добавив данную строку в начало сценария и запустив его, мы приходим к
другой проблеме: переменная не определена. Переменная ,
соответствующая значению \( \pi \), также определена в модуле , и
тоже должна быть импортирована

from math import atan, pi

Очевидно, что достаточно сложно импортировать поименно все необходимые
нам функции и переменные из модуля , поэтому существует
быстрый способ импортировать все из модуля :

from math import *

Мы будем использовать такое выражение для импорта, чтобы иметь доступ
ко всем общим математическим функциям. Таким образом рабочий сценарий
ball_angle.py имеет вид:

# -*- coding: utf-8 -*-
from math import *

x = 10   # горизонтальное положение
y = 10   # вертикальное положение

angle = atan(yx)

print (anglepi)*180

На первый взгляд кажется громоздким использование библиотек, так как
мы должны знать какой модуль импортировать, чтобы получить желаемый
функционал. Возможно, более удобно иметь доступ ко всему необходимому
в любое время. Однако это означает, что мы заполним память программы
большим количеством информации, которую мы будем редко использовать
для вычислений. Поэтому Python имеет большое количество библиотек,
реализующих огромные возможности, из которых мы можем импортировать
только необходимые в данный момент.

Целые и вещественные числа. Математические операции и вывод результата

Если мы рассматриваем математические операции над целыми и дробными числами, то это операторы +, -, *, /, **, //,%. С первыми тремя все понятно. Они обозначают соответственно сложение, вычитание, умножение. Оператор ** указывает на необходимость возведения в степень.

Одиночное (/) и двойное (//) деление различаются. Если первое дает действительное число в решении, второе необходимо, чтобы найти целую часть деления. Например, 9 // 4 = 2. Этот оператор соответствует функции div в Turbo Pascal. Но закономерность есть. Знак «/» напечатает целое число в результате, если и делитель, и делимое являются целыми числами. Чтобы найти остаток от деления в Python, вам нужно использовать оператор «%». По аналогии с тем же «Турбо Паскалем» «%» сравним с функцией мода. Например, 9% 2 = 1, то есть в Python остаток от деления в данном случае равен 1. Рассмотрим еще несколько примеров.

Для деления без остатка Python предлагает использовать функцию divmod (x, y). В этом случае x — делимое, y — делитель. Для divmod (9,3) программа выдает следующий результат (3,0). Это означает, что все деление равно 3, а остаток равен 0.

Математические операции могут выполняться без присвоения значения переменной. Затем результат выводится автоматически. Если ваш код содержит присвоение переменной, вы можете отобразить результат на экране с помощью оператора печати.